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「不思議数の探索と予想【１】」の続き

１万以下に存在する原始的な不思議数７個について、素因数分解と過剰分を調べてみた。驚いたことにその多くが次の性質を持つことに気付いた。

n = 2^k･ｐ･ｑ，Δ = 2^k+1，
但し p, q は Δ < p < q を満たす奇素数

最初の不思議数である n = 70 は k = 1 に対応し、次の n = 836 は k = 2 に対応している。つまり過剰分 Δ がきれいに２の累乗となっているのである。

この観察を通じて、一般的に次のことが成り立つと分かった：

定理１：
n = 2^k･ｐ^a･ｑ^b･‥　について
Δ = 2^k+1 であり p, q が Δ < p < q を満たす
奇素数であれば、n は不思議数である。

この命題も先の補題と同様の手法で証明できる。n の約数を小さい順に並べて和を作ると

σ(n) = 1 + 2 + ‥ + 2^k + p + q + ‥ n = 2n + Δ

となる。これが擬似完全数になるためには、和が Δ = 2^k+1 になる約数を適当に選んで取り除かなければならない。しかし公比２の等比数列の和によれば

1 + 2 + ‥ + 2^k = 2^k+1 - 1 < 2^k+1 < p

であるから、どの約数を組み合わせても Δ = 2^k+1 にはできない。したがって定義より不思議数となる。

原始的な不思議数で、素因数分解したときの２の累乗数を k としたとき、Δ = 2^k+1 となるものを特に「正規である」と（勝手に）表現することにしよう。

ここまで制限を加えれば、不思議数の探索もかなり具体化される。実際、Δ がこの形をしているときは完全数や親和数などの探索と同様、ある形をした素数を探す問題へと帰着される。変形は容易なので結果だけを書いておこう：

定理２：
2^k < p < 2^k+1 < q を満たす奇素数について
( p + 1 )( q + 1 ) / ( p + q ) = 2^k であれば
n = 2^k-1･ｐ･ｑは Δ = 2^k の正規な不思議数である。

この結果を導いた当時（1992/12/16）では、Δ を固定して上の結果を q について解き

q = {( Δ - 1 )p - 1} / { p - ( Δ - 1 )}

として素数 p を与えて q も奇素数となるものを探索することで、次の正規な不思議数を得ている。

2⁵･79･311 = 786208，
2⁶･131･4159 = 34869056，
2⁸･523･22271 = 2981819648，
2⁹･1031･131839 = 69594116608

また、Fermat 素数 F₄ = 65537 と Mersenne 素数 M₃₁ = 2147483647 の素数性を既知のものとすれば

2¹⁵･65537･2147483647

という数も Δ = 2¹⁶ の正規な不思議数であることが示される。

さて、今回一連の記事を書くにあたって、過去の日記にある内容を再検討し、その過程で 1992 年の当時導いた探索法より少しばかりエレガントな方法を見つけた。（但し本質的には定理２に同じ）

定理３：
k ≧ 2 の整数に対し、xy = 2^k+1( 2^k-1 - 1 ) を
満たすような正の整数 x, y を選ぶ。
p = x + ( 2^k - 1 ) , q = y + ( 2^k - 1 ) が共に奇素数なら
n = 2^k-1･ｐ･ｑは Δ = 2^k の正規な不思議数である。

特に 2^k-1 - 1 が素数となる場合は、x, y の組み合わせは 2(k+2) 通りしか存在しない。更に p, q が同時に素数でなければならないから、正規な不思議数を導くものは更に少なくなる。いずれにしろ、x, y の組み合わせは有限だから、このことから k を固定した場合、その k に対応して２個の奇素数の積から構成される正規な不思議数は有限個しか存在しないことが示される。

k の値によっては、この形の正規な不思議数が一つも存在しない場合もある（ k = 20 など）のだが、概ね k が大きくなれば x, y の組み合わせが増えるために、見つけやすくなるようにも思える。但しp, q の素数判定が厄介になることは、避けられない宿命である。ここでは k = 22 に対応する２個のやや大きい正規な不思議数を掲載しておく。

2²¹･4194319･1099515297791
2²¹･4194559･68723638271

しかしここで得られた結果など、不思議数全体からすればほんの一部分に過ぎない。更に追求すべき厄介で困難な問題が残されているのであった。

「不思議数の探索と予想【３】」へ続く

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